2^A
Per rispondere dobbiamo ripercorrere il lavoro che avete svolte e le conclusioni a cui siete arrivati.
1. "Doppioni" La caratteristica delle coppie di doppioni è che sono uguali i poligoni stellati che si formano.
Pentagono doppioni: {5;2} {5; 3 }
Esagono doppioni: {6;2} {6;4}
Ettagono doppioni: {7;2} {7;5} | {7;3} {7;4}
Ottagono doppioni: {8;2} {8;6} | {8;3} {8;5}
Ennagono doppioni: {9;2} {9;7} | {9;3} {9;6} | {9;4} {9;5}
Osservazione 1 sui doppioni: sono doppioni anche i seguenti poligoni che riproducono il poligono regolare iniziale e ovviamente non sono stellati
Pentagono doppioni: {5;1} {5;4}
Esagono doppioni: {6;1} {6;5}
Ettagono doppioni: {7;1} {7;6}
Ottagono doppioni: {8;1} {8;7}
Ennagono doppioni: {9;1} {9;8}
Osservazione 2 sui doppioni:
Pentagono: 1+4=5 2+3=5
Esagono : 1+5=6 2+4=6
Ettagono : 1+6=7 2+5=7 3+4=7
Ottagono : 1+7=8 2+6=8 3+5=8
2. Numero di poligoni stellati che si formano eliminando i "doppioni": tra i due poligoni congruenti teniamo in considerazione il primo che si forma congiungendo i vertici muovendoci in senso orario
nel Pentagono: 1 il {5;2}
nell'Esagono: 1 il {6;2}
nell'Ettagono: 2 il {7;2} e il {7;3}
nell'Ottagono: 2 il {8;2} e il {8;3}
nell'Ennagono: 3 il {9;2} , il {8;3}{9;3}{8;3} e il {9;4}
3. I poligoni che hanno poligoni stellati "degeneri" cioè ridotti a tanti segmenti congruenti che si tagliano l’un l’altro a metà sono:
il pentagono: non ne ha
l’esagono: si ottiene saltando 2 vertici (+3) cioè si ha il poligono stellato{6;3}
l'ettagono: non ne ha
l'ottagono: si ottiene saltando 3 vertici (+4) cioè si ha il poligono stellato {8;4}
l'ennagono: non ne ha
il decagono: si ottiene saltando 4 vertici (+5) cioè si ha il poligono stellato {10;5}
… (si continua all’ infinito saltando sempre un poligono)
4. I poligoni stellati semplici sono quelli che si possono disegnare senza staccare la mano dal foglio mentre, i poligoni stellati composti sono al contrario quelli che per disegnarli è necessario staccare la mano dal foglio.
Hanno i poligoni stellati composti, ovviamente eliminando i doppioni,
l'esagono ed è il poligono {6;2}
l'ottagono ed è il poligono {8;2}
l'ennagono ed è il poligono {9;3}
{6;2}decagono ed è il poligono {10;2}
Senza disegnarli, è possibile prevedere quanti poligoni stellati posso disegnare nel decagono, nel 15-gono, nel 20-gono?
- Per ognuno dei tre poligoni quali sono i poligoni stellati doppioni?
- Per ognuno dei tre poligoni, quanti sono i poligoni stellati semplici e quanti sono quelli composti?
- Per ognuno dei tre poligoni quali sono i poligono stellati degeneri?
Si possono individuare 7 poligoni stellati, di questi il {10;5} è degenere, gli altri sei, se eliminiamo i doppioni, si riducono a 10;2} {10;2} {10;3} {10;4} e tra di questi il {10;2} e il {10;4} sono poligoni composti due pentagoni, pentagoni covessi nel {10;2}, pentagoni stellati nel {10;2}.