per la 2^A
Sono quattro e li numeriamo dal piccolo al grande rispettivamente: Q1, Q2, Q3, Q4.
Indicheremo poi con A1, A2, A3, A4 le loro aree e con P1, P2, P3, P4 i loro perimetri.
l'area dei quadrati è rispettivamente di 8, 16, 32, 64 unità di misura.
Osserviamo che l'area aumenta in modo regolare: raddoppia nel passaggio da un quadrato al successivo. Possiamo scrivere:
A2/A1 = 2
A3/A2 = 2
A4/A3 = 2
Esprimo questa regolarità dicendo che le aree formano una successione che può continuare all'infinito e il numero 2 è il fattore costante di ingrandimento dell'area.
1. Se ipotizziamo di estendere la griglia e di continuare la costruzione dei quadrati possiamo determinare, senza disegnarli, quale sarà l'area di Q6? E l'area di Q10? E l'area di Q20?
2. E come potremo scrivere l'area di un quadrato qualsiasi della successione che indichiamo con Qn?
Ecco le vostre risposte: indichiamo con A1, A2,... le aree dei quadrati Q1, Q2, ...
A1=A1x2^0
A2=A1x2^1
A3=A1x2^2
A4=A1x2^3
................
A6=A1x2^5
A10=A1x2^9
A20=A1x2^19
............
An=A1x2^(n-1)
P1 = 8 cateti
P2 = 8 ipotenuse
P3 = 16 cateti
P4 = 16 ipotenuse
Non possiamo però confrontare le misure dei perimetri dei quadrati perchè sono espresse con unità di misura diverse. Dobbiamo prima capire quale relazione lega il cateto all'ipotenusa. Facciamo la simmetria assiale ddel triangolo sull'ipotenusa e otteniamo un quadrato.
2. Esprimiamo ogni P del quadrato nella stessa unità di misura
3. C'è regolarità nell'aumento del perimetro dei quadrati?
4. Si può esprimere con un rapporto? E se sì, quanto vale questo fattore di ingrandimento?
In classe ognuno ha ripetuto la costruzione sul proprio quaderno, riportando con il compasso il cateto sull'ipotenusa, e con le misure e i calcoli ha potuto verificare la stessa conclusione di Carolina; utilizzando le nostre conoscenze abbiamo approfondito questa osservazione per precisare meglio la relazione tra cateto e ipotenusa. |
![Immagine](/uploads/1/2/8/3/12831146/3307225.jpg?344)
Servendoci delle formule relative all'area del quadrato abbiamo ricavato la relazione tra ipotenusa e cateto.
Il rapporto tra ipotenusa e cateto è il numero
"radice di due" che ha infiniti decimali e che se viene arrotondato a 1,414 risulta "vicino" come valore a 1,5 cioè a 3/2, proprio come aveva intuito Carolina.