3^ADopo aver calcolato la misura del contorno delle figure in immagine, sapreste determinare quanto misura il contorno di una figura analoga, delimitata da una semicirconferenza grande e da 10, 15, 80, ... semicirconferenze piccole congruenti oppure anche non congruenti tra di loro? N.B. per chi avesse difficoltà a rispondere ho postato un suggerimento dopo la richiesta di Mattia C. Per ora svolgete l'esercizio che vi ho indicato nel post. Agli altri ho risposto individualmente; leggete i suggerimenti per approfondire o correggere ciò che avete scritto Quanto misura il contorno di ciascuna delle parti in cui ciascuna dei tre cerchi grandi sono suddivisi?
Quanto misura l'area di ciascuna di queste parti? E se volessi dividere il cerchio in dieci parti quale procedimento dovrei seguire? 2^ADomanda: Quanti poligoni stellati posso disegnare in ogni poligono regolare convesso? Per rispondere dobbiamo ripercorrere il lavoro che avete svolte e le conclusioni a cui siete arrivati. 1. "Doppioni" La caratteristica delle coppie di doppioni è che sono uguali i poligoni stellati che si formano. Pentagono doppioni: {5;2} {5;3} Esagono doppioni: {6;2} {6;4} Ettagono doppioni: {7;2} {7;5} | {7;3} {7;4} Ottagono doppioni: {8;2} {8;6} | {8;3} {8;5} Ennagono doppioni: {9;2} {9;7} | {9;3} {9;6} | {9;4} {9;5} Osservazione 1 sui doppioni: sono doppioni anche i seguenti poligoni che riproducono il poligono regolare iniziale e ovviamente non sono stellati Pentagono doppioni: {5;1} {5;4} Esagono doppioni: {6;1} {6;5} Ettagono doppioni: {7;1} {7;6} Ottagono doppioni: {8;1} {8;7} Ennagono doppioni: {9;1} {9;8} Osservazione 2 sui doppioni: Pentagono: 1+4=5 2+3=5 Esagono : 1+5=6 2+4=6 Ettagono : 1+6=7 2+5=7 3+4=7 Ottagono : 1+7=8 2+6=8 3+5=8 2. Numero di poligoni stellati che si formano eliminando i "doppioni": tra i due poligoni congruenti teniamo in considerazione il primo che si forma congiungendo i vertici muovendoci in senso orario nel Pentagono: 1 il {5;2} nell'Esagono: 1 il {6;2} nell'Ettagono: 2 il {7;2} e il {7;3} nell'Ottagono: 2 il {8;2} e il {8;3} nell'Ennagono: 3 il {9;2} , il {8;3}{9;3}{8;3} e il {9;4} 3. I poligoni che hanno poligoni stellati "degeneri" cioè ridotti a tanti segmenti congruenti che si tagliano l’un l’altro a metà sono: il pentagono: non ne ha l’esagono: si ottiene saltando 2 vertici (+3) cioè si ha il poligono stellato{6;3} l'ettagono: non ne ha l'ottagono: si ottiene saltando 3 vertici (+4) cioè si ha il poligono stellato {8;4} l'ennagono: non ne ha il decagono: si ottiene saltando 4 vertici (+5) cioè si ha il poligono stellato {10;5} … (si continua all’ infinito saltando sempre un poligono) 4. I poligoni stellati semplici sono quelli che si possono disegnare senza staccare la mano dal foglio mentre, i poligoni stellati composti sono al contrario quelli che per disegnarli è necessario staccare la mano dal foglio. Hanno i poligoni stellati composti, ovviamente eliminando i doppioni, l'esagono ed è il poligono {6;2} l'ottagono ed è il poligono {8;2} l'ennagono ed è il poligono {9;3} {6;2}decagono ed è il poligono {10;2} Generalizziamo Senza disegnarli, è possibile prevedere quanti poligoni stellati posso disegnare nel decagono, nel 15-gono, nel 20-gono? - Per ognuno dei tre poligoni quali sono i poligoni stellati doppioni? - Per ognuno dei tre poligoni, quanti sono i poligoni stellati semplici e quanti sono quelli composti? - Per ognuno dei tre poligoni quali sono i poligono stellati degeneri? CONGETTURA SUL DECAGONO
Si possono individuare 7 poligoni stellati, di questi il {10;5} è degenere, gli altri sei, se eliminiamo i doppioni, si riducono a 10;2} {10;2} {10;3} {10;4} e tra di questi il {10;2} e il {10;4} sono poligoni composti due pentagoni, pentagoni covessi nel {10;2}, pentagoni stellati nel {10;2}. 3^ASegui l'animazione e prova a descrivere ciò che vedi. Preciso meglio la domanda: come viene disegnata la curva blu che si chiama cicloide? e quella rossa che si chiama cardioide e quella verde che si chiama deltoide? Nel movimento il punto nero percorre tutte le linee oppure solo alcune? Se solo alcune, quali sono? LAVORI DI SARA Sara ha realizzato con Geogebra sia la cicloide sia la cardioide; cliccando sulle immagini si aprono i fogli di Geogebra su cui sono disegnate le curve. Voi potete riprodurle muovendo lo slider, il cursore presente nel foglio. Anche voi potete realizzare le curve seguendo le indicazioni che trovate negli ultimi commenti a questo post. LA CICLOIDE Una circonferenza rotola su una linea retta e un punto della circonferenza, che se congiunto con il centro forma un raggio, lascia una linea infinita detta cicloide. La cicloide fu studiata per la prima volta da Nicola Cusano e ricevette il suo nome nel 1599 da Galileo. Egli aveva notato che una sfera arriva prima rotolando lungo un arco di cerchio piuttosto che sulla corda del cerchio, anche se essa è più corta. Fu poi Johann Bernoulli nel 1697 a porre ufficialmene il problema della ricerca della traiettoria più veloce che porta una massa da un punto A ad un punto B muovendosi su una linea di un piano verticale.i nel 1697. La traiettoria che rende il movimento del punto, soggetto alla forza di gravità, più veloce è un arco di cicloide. Questa proprietà trova applicazioni nella realizzazione di macchinari e congegni e anche in alcuni sport, ad esempio nella creazione di piste e trampolini per il ciclocross lo skateboarding e lo sci. LA CARDIOIDE
Una circonferenza ruota su un'altra circonferenza che rimane ferma. Un punto della circonferenza, che congiunto al centro forma un raggio, mentre la circonferenza ruota disegna una linea detta cardioide perchè ricorda la forma del cuore. 2^ASe in un ottagono regolare salto due vertici e congiungo il terzo ottengo un ottagono stellato. Posso indicare la stella che ottengo con questo simbolo {8;3}.
Domanda: Quanti poligoni stellati posso disegnare in ogni poligono regolare convesso? 1. Riepiloga in una tabella il numero di poligoni stellati che si formano eliminando i doppioni 2. Quale caratteristica presentano le coppie di “doppioni ? 3. Quali poligoni hanno un poligono stellato “degenere”, cioè formato da tanti segmenti congruenti che si tagliano l’un l’altro a metà? 4. Ci sono poligoni stellati semplici e poligoni stellati composti da poligoni convessi Quali sono i poligoni che generano stelle composte da poligoni più semplici? 5. Riesci a dare una giustificazione alla tua risposta precedente? Previsione: Quanti poligoni stellati posso disegnare nel decagono, nel 15-gono, nel 20-gono? Per ogni poligono, quanti sono semplici e quanti sono composti? 2^AVolete provare a capire la sequenza di calcoli che porta al numero decimale periodico finale?
Incominciate da soli e postate qui le vostre spiegazioni. Per iniziare, vi consiglio di spiegare solo brevi passaggi di calcolo. Poi faremo la sintesi insieme. 1^ACi siamo proposti di studiare i poligoni stellati. Essi si formano congiungendo gli n vertici di un poligono regolare convesso tramite le diagonali; sono poligoni concavi con 2n lati congruenti, n angoli convessi congruenti tra di loro e n angoli concavi congruenti tra loro che si alternano seguendo il contorno della figura Ci siamo posti le seguenti domande: 1) come fare per non dimenticarne qualcuno? 2) per ogni poligono iniziale quanti se ne possono disegnare? 3) in quale modo possiamo descrivere la costruzione? Per rispondere a queste domande abbiamo studiato tutti i poligoni, dal triangolo equilatero all'ottagono. Risposte 1) per non dimenticarne qualcuno scegliamo un vertice di partenza che chiameremo 0 e numeriamo in sequenza gli altri vertici 1, 2, 3, ... Poi tracciamo le diagonali consecutive tra di loro, cioè senza staccare la mano dal foglio. A volte il percorso si chiude sullo 0 dopo aver toccato tutti i vertici, a volte si chiude senza averli toccati tutti e bisogna ricominciare da un altro vertice. 2) in un poligono di n lati se salto 0 vertici che corrisponde ad aggiungere 1, ottengo il suo contorno. La stessa cosa succede se salto n-2 vertici che corrisponde ad aggiungere n-1 al vertice di partenza; ottengo di nuovo il contorno del poligono ma disegnato in senso antiorario. 3) descriviamo la costruzione geometrica utilizzando delle addizioni in un insieme finito di numeri che corrispondono ai vertici del poligono. Eugenio e Gianluca hanno lavorato con geogebra su disegni di poligoni regolari mentre i compagni hanno disegnato sul quaderno dei poligoni convessi non regolari. Ciò non ha comunque impedito di ragionare e trarre conclusioni corrette ![]() POLIGONI CONVESSI SENZA POLIGONI STELLATI Il triangolo non ha diagonali; non genera nessun poligono stellato. Le due diagonali del quadrato non formano alcun poligono stellato PENTAGONO ![]() Osservazioni: disegno di Ilaria ![]() Eugenio: Scrivo la sequenza dei vertici del poligono stellato ottenuto saltando 1 vertice, che equivale ad aggiungere 2 al vertice di partenza Come si può scrivere il calcolo per ottenere il vertice di arrivo? Mi sembra un calcolo in base 5, ma basta fare la verifica per escluderlo. Non è una numerazione in base 5.Posso chiamarla " numerazione pentagonale". Essa utilizza 5 numeri a partire dallo zero, con un ritorno che si ripete sugli stessi dopo il 4. ![]() Seconda sequenza: Osservazioni ESAGONO ![]() Osservazioni disegno di Paola ETTAGONO ![]() Osservazioni OTTAGONO ![]() Osservazioni ENNAGONO
1^A"Un leone si trova in un pozzo profondo 50 palmi. Durante il giorno, risale il pozzo di 1/7 di palmo, ma durante la notte ridiscende di 1/9 di palmo. Dopo quanti giorni il leone riuscirà a raggiungere la cima del pozzo?
Il problema compare nella Parte Terza del capitolo XII del Liber Abaci con il titolo Del leone che era in un pozzo, foglio 42 verso del manoscritto." Riportato nel libro I GIOCHI DEL MEDIOEVO a cura di Nando Geronimi Abbiamo risolto il problema nel modo seguente: 50-1/7=349/7 1/7-1/9=2/63 349/7:2/63=1570,5 1570,5+1=1571,5 Il leone avrà raggiunto il pozzo nel corso del 1572° giorno. Eugenio ha inventato un problema analogo. Qual è la soluzione? |
Archives
Febbraio 2016
AuthorLaureata in Matematica e per molti anni insegnante nella scuola secondaria di primo grado. Ho amato il mio lavoro e sono sempre più convinta che la Matematica sia stata scoperta e non inventata. |