per la 2^A
Noi studieremo le proprietà di questa elegante e singolare forma geometrica.
Giocosamente |
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per la 2^A Il Teatro comunale di Ferrara è il più importante teatro di Ferrara. È stato costruito dal 1773 al 1797 da Antonio Foschini. Possiede al suo interno una piccolo cortile chiamato "Rotonda Foschini" a forma ellittica che permetteva un tempo alle carrozze di entrare dal porticato di fronte al Castello Estense e di raggiungere Corso Giovecca.
Noi studieremo le proprietà di questa elegante e singolare forma geometrica.
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per la 1^A In fotografia vedete fiore e bocciolo di platycodon gradiflorus.
Insieme osserveremo attentamente la sua forma e costruiremo con geogebra il modello geometrico della sua corolla. per la 2^A Ci proponiamo ora di studiare i rettangoli inscritti nel quadrato grande della griglia, concentrici e con i lati paralleli alle diagonali. ![]() Si possono disegnare tre rettangoli, di cui due (1 e 3) sono congruenti. Si ottengono ruotando uno di essi intorno al centro del quadrato, di 90° in senso orario oppure in senso antiorario. Il rettangolo 2 è un quadrato. I rettangoli sono isoperimetrici, ma non sono equiestesi ![]() Abbiamo esteso la griglia e abbiamo potuto disegnare cinque rettangoli. I rettangoli sono isoperimetrici come era già accaduto nella griglia precedente: R1 e R3, R4 e R5 sono congruenti per rotazione. Il rettangolo 2 è un quadrato. I rettangoli non sono equiestesi. In ogni griglia il quadrato ha area metà del quadrato in cui è inscritto, e la sua area è la massima tra le aree dei rettangoli inscritti. L'area è un numero pari perchè ogni figura è scomponibile in quadratini e ogni quadratino è composto da due triangoli unità di misura della superficie. Il perimetro è un numero pari perchè si ottiene raddoppiando il semiperimetro e il doppio di un numero, che sia pari o sia dispari, è sempre pari. ![]() Lo spago è teso tra le quattro dita a forma di rettangolo. Se allontano le dita e avvicino le mani ottengo altri rettangoli. Se continuo nel movimento e avvicino sempre più due dita della stessa mano fino a sovrapporle, come hanno fatto questa mattina Camilla e Giulia con la corda, le due metà della corda si sovrappongono. ![]() I rettangoli ottenuti con la corda sono come quelli disegnati sul reticolo: hanno lo stesso perimetro perchè la corda non si allunga. Se appoggiamo la corda tesa a rettangolo sul reticolo, e avviciniamo al massimo le dita della stessa mano, le due metà della corda si sovrappongono e concidono con la diagonale del quadrato. Osservazione di Domenico: "Il caso limite dei rettangoli presenti nel reticolo è la diagonale. Se la vediamo come segmento è il semiperimetro". Come si può rispondere a questa domanda? Ognuno scriva anche in che modo è riuscito a calcolare il perimetro; confronteremo i vostri ragionamenti in classe. Buon lavoro!
per la 3^A Abbiamo riepilogato nella tabella i tipi di poligoni che costituiscono i sette tan ed espresso le loro aree prendendo come unità di misura i triangoli isosceli piccoli. Abbiamo scelto come unità di misura dei perimetri il cateto. Per il calcolo dell'ipotenusa, il numero 2^(1/2) è stato approssimato a 1,414 Avete osservato che se le aree sono uguali, i perimetri non necessariamente sono uguali.
Dall'equivalenza delle figure, non deriva la loro isoperimetria. per la 1^A ![]() La leggenda fa risalire la storia dell'elevamento a potenza al gioco degli scacchi. Un re di Persia del VI secolo d.C. domandò all'inventore del gioco, un certo Sessa, quale ricompensa avrebbe gradito. Egli, modestamente, non chiese oro o gioielli prezioni, ma "si accontentò" di avere 1 chicco di grano per la prima casella, 2 per la seconda, 4 per la terza, ... e così via raddoppiando il numero di chicchi per ogni casella successiva, fino alla sessantaquattresima. Secondo i suoi conti, quanti chicchi di grano avrebbe accumulato? Secondo voi, fu una buona richiesta? Lorenzo ha effettuato il calcolo con Excel e poi anche Chiara ha ripetuto lo stesso procedimento trovando 18.446.744.073.709.600.000.
Ilaria ha spiegato che in realtà il numero giusto è: 18.446.744.073.709.551.615 Secondo suo padre il numero con tanti zeri finali era una approssimazione dovuta ad un calcolo fatto con un processore a 32 bit, invece che a 64. Voi che ne dite? per la 2^A Se il lato del quadrato più piccolo ha misura 1u, quali sono le misure dei lati degli altri quadrati della successione?
Nota: per scrivere "radice quadrata di due" si scrive 2 elevato a 1/2. Questa notazione si spiega pensando che l'estrazione di radice è l'inverso dell'elevamento a potenza. Esempio: eleviamo 5 alla seconda e poi estraiamo la radice quadrata: 5^2=25 25^(1/2)= 5 otteniamo 5, proprio come se avessimo applicato la proprietà delle potenze: (5^2)^(1/2) = 5^(2*(1/2)) = 5^1 = 5 per la 2^A Tenendo conto delle osservazioni emerse in classe, ho riportato sulla figura la retta che sostiene le diagonali alternate ai lati dei quadrati e la diagonale del quadrato che lo scompone in due triangoli rettangoli isosceli congruenti. Se l'area del quadratino più piccolo è 1 u^2, quanto è l'area degli altri quadrati della successione? Sara osserva che se l’area del primo quadrato è di 1 u^2, quelli successivi sono il doppio di quelli più piccoli che li precedono e perciò si va avanti con la potenza di 2 cioè : 2 u^2, 4 u^2, 8 u^2, 16 u^2, 32 u^2. Riepiloghiamo i risultati in una tabella: Domenico dice che 2 è il fattore costante di ingrandimento delle aree e quindi osserviamo che ciò che cambia è solo l’esponente che dà anche la posizione del quadrato nella successione Se noi indichiamo con la lettera x un qualsiasi esponente, numero intero, l’area può essere espressa con la formula 2^x Leggiamo i numeri della tabella riga per riga, a coppie. Ogni esponente è in corrispondenza con la sua area; possiamo farne una rappresentazione sul piano cartesiano utilizzando Excel grafico di Giulia Domenico chiede: "Cosa rappresentano i punti sul piano cartesiano?" Rappresentano il legame che c’è tra il posto del quadrato nella successione, 0,1,2,3,.. che diventa poi l'esponente di 2, e l’area del quadrato. Se indichiamo con y l' area del quadrato x la posizione del quadrato nella successione possiamo scrivere la relazione: y = 2^x Ripetiamo la costruzione del grafico con Geogebra e si delinea una curva sulla quale noi segniamo i punti corrispondenti ai quadrati della nostra successione grafico realizzato da Mattia R.
per la 2^A Sulla griglia sono stati disegnati tutti i possibili quadrati concentrici. Sono quattro e li numeriamo dal piccolo al grande rispettivamente: Q1, Q2, Q3, Q4. Indicheremo poi con A1, A2, A3, A4 le loro aree e con P1, P2, P3, P4 i loro perimetri. Prendiamo come unità di misura della superficie il piccolo triangolo rettangolo isoscele; l'area dei quadrati è rispettivamente di 8, 16, 32, 64 unità di misura. Osserviamo che l'area aumenta in modo regolare: raddoppia nel passaggio da un quadrato al successivo. Possiamo scrivere: A2/A1 = 2 A3/A2 = 2 A4/A3 = 2 Esprimo questa regolarità dicendo che le aree formano una successione che può continuare all'infinito e il numero 2 è il fattore costante di ingrandimento dell'area. 1. Se ipotizziamo di estendere la griglia e di continuare la costruzione dei quadrati possiamo determinare, senza disegnarli, quale sarà l'area di Q6? E l'area di Q10? E l'area di Q20? 2. E come potremo scrivere l'area di un quadrato qualsiasi della successione che indichiamo con Qn? Ecco le vostre risposte: indichiamo con A1, A2,... le aree dei quadrati Q1, Q2, ... A1=A1x2^0 A2=A1x2^1 A3=A1x2^2 A4=A1x2^3 ................ A6=A1x2^5 A10=A1x2^9 A20=A1x2^19 ............ An=A1x2^(n-1) Misuriamo ora i perimetri dei quadrati e prendiamo come unità di misura i segmenti che sono rispettivamente i cateti o l'ipotenusa del triangolino rettangolo isoscele, scelti a seconda del quadrato che consideriamo. Abbiamo quindi P1 = 8 cateti P2 = 8 ipotenuse P3 = 16 cateti P4 = 16 ipotenuse Non possiamo però confrontare le misure dei perimetri dei quadrati perchè sono espresse con unità di misura diverse. Dobbiamo prima capire quale relazione lega il cateto all'ipotenusa. Facciamo la simmetria assiale ddel triangolo sull'ipotenusa e otteniamo un quadrato. 1. Troviamo la relazione 2. Esprimiamo ogni P del quadrato nella stessa unità di misura 3. C'è regolarità nell'aumento del perimetro dei quadrati? 4. Si può esprimere con un rapporto? E se sì, quanto vale questo fattore di ingrandimento? Riporto l'intuizione di Carolina: "L'ipotenusa è circa 3/2 del cateto. L'ho determinato in modo semplice e intuitivo: ho disegnato un modello di quadrato e la sua diagonale, poi con la mente e con il compasso ho sovrapposto la diagonale al lato del quadrato. Ho suddiviso l'intero segmento in tre parti; 2 facevano parte del lato, 3 invece erano la diagonale e da lì ho determinato la relazione che il cateto è 2/3 dell'ipotenusa".
![]() Servendoci delle formule relative all'area del quadrato abbiamo ricavato la relazione tra ipotenusa e cateto. Il rapporto tra ipotenusa e cateto è il numero "radice di due" che ha infiniti decimali e che se viene arrotondato a 1,414 risulta "vicino" come valore a 1,5 cioè a 3/2, proprio come aveva intuito Carolina. Riprendiamo la formula che lega ipotenusa e cateto e troviamo i perimetri P1, P2, ... dei quadrati Q1, Q2,...
per la 2^A La superficie piana è una porzione di piano racchiusa da una linea che ne costituisce il contorno. La superficie possiede una proprietà detta estensione. La misura della sua estensione si chiama area. Due superfici che sono equiestese avranno la stessa area e si diranno equivalenti. Possiamo stabilire l'equiestensione di due superfici attraverso: il metodo della somma il metodo della differenza lo scorrimento. Lo scorrimento si ottiene ripetendo più volte il metodo della somma Nelle immagini vedete come si possono disegnare dei parallelogrammi equiestesi per scorrimento dei triangoli equiestesi per scorrimento dei trapezi equiestesi per scorrimento Eccovi le figure su cui abbiamo lavorato:
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Febbraio 2016
AuthorLaureata in Matematica e per molti anni insegnante nella scuola secondaria di primo grado. Ho amato il mio lavoro e sono sempre più convinta che la Matematica sia stata scoperta e non inventata. |